De wiskunde achter de muziek van Johann Sebastian Bach

Een goed muziekstuk moet een zekere mate van verrassing brengen zonder de luisteraar te overweldigen. Onderzoekers onder leiding van natuurkundige Suman Kulkarni van de Universiteit van Pennsylvania hebben nu geprobeerd om dit intuïtieve concept van goede muziek uit te drukken met behulp van een wiskundig model. In een studie die in februari 2024 werd gepubliceerd in "Physical Review Research", onderzochten ze hoe de structuur van een muziekstuk samenhangt met de menselijke perceptie: Wat leidt ertoe dat mensen bepaalde passages onthouden, en welke momenten van een nummer lijken voorspelbaar? Kulkarni en haar team analyseerden werken van de componist Johann Sebastian Bach met behulp van methoden uit de informatietheorie - en waren zo in staat om te verklaren waarom zijn muziek na zoveel eeuwen nog steeds populair is.

"Bach leek een ideaal uitgangspunt voor deze studie, omdat zijn werk een sterke wiskundige structuur heeft," vertelde Kulkarni aan de American Physical Society. Zijn stukken bevatten ook veel verschillende compositievormen, van preludes tot fuga's tot koralen. Kulkarni en haar team hebben er honderden geanalyseerd.

De natuurkundigen visualiseerden de muziekstukken aanvankelijk als netwerken. Elk knooppunt kwam overeen met een noot van het lied; twee noten werden verbonden door pijlen als ze elkaar opvolgden. De experts kenden ook een "gewicht" toe aan de pijlen: hoe vaker de ene noot op de andere volgde, hoe zwaarder de verbindende pijl werd. Voor elk netwerk dat op deze manier werd verkregen, konden Kulkarni en haar collega's een wiskundige waarde berekenen, de zogenaamde Shannon entropie, die de informatie-inhoud van het netwerk kwantificeert.

Hoeveel informatie zit er in een muziekstuk?

De onderzoekers herkenden een patroon: dezelfde compositievormen hadden vergelijkbare hoeveelheden entropie. Zo bevatten koralen die in kerken worden gezongen meestal weinig informatie, in tegenstelling tot toccata's en fuga's, die vermakelijke en verrassende passages bevatten. Volgens Kulkarni weerspiegelen de verschillen in entropie dus de functies van de verschillende compositievormen.

Kulkarni en haar team wilden ook uitzoeken of deze complexiteit daadwerkelijk werd ontvangen door luisteraars. Hiervoor gebruikten ze een computermodel dat de gemiddelde perceptie van een persoon simuleert. Om het model te trainen lieten ze mensen verschillende opeenvolgingen van beelden zien en maten ze hoe verrassend de indrukken waren voor de proefpersonen. Met behulp van dit programma creëerde het team een nieuw netwerk: in dit geval geven de verbindingen tussen twee knooppunten aan hoe voor de hand liggend - of verrassend - iemand de volgorde van de corresponderende noten waarneemt. Omdat mensen geen perfect begripsvermogen hebben, verschilt het op deze manier gecreëerde netwerk meestal van het netwerk dat rechtstreeks uit het muziekstuk wordt verkregen.

De onderzoekers ontdekten dat het verschil tussen de netwerken klein was voor muziekstukken van Bach - in tegenstelling tot willekeurig gegenereerde netwerken, die ze ook analyseerden met hun computermodel. Ze concluderen dat muzikale composities blijkbaar de discrepanties tussen de structuur van een stuk en de menselijke perceptie ervan minimaliseren.

Om deze stelling te bevestigen zijn echter meer zorgvuldige analyses nodig die ook rekening houden met andere elementen van een compositie, zoals ritme of de aanwezigheid van akkoorden. Dit zou het ook mogelijk maken om stukken van verschillende uitvoerders en muziekstijlen met elkaar te vergelijken. "Ik zou graag dezelfde analyses uitvoeren voor andere componisten en niet-westerse muziek," vertelde Kulkarni aan New Scientist.

Spectrum van de Wetenschap

Wij zijn een partner van Spektrum der Wissenschaft en willen geluidsinformatie toegankelijker maken voor jou. Volg Spektrum der Wissenschaft als je de artikelen leuk vindt